LANJUTAN DASAR ILMU ANALITIK BIDANG (3)

Dari penjelasan sebelumnya di Dasar Ilmu Ukur Analitik 3, sehingga dapat disimpulkan  bahwa

"Besarnya garis AB (Gambar 6) yang sejajar dengan sumbu absis (atau ordinat) adalah sama dengan selisih absis (atau ordinat) daripada titik akhir dan titik awal garis tersebut, yakni

Sesunguhnya, penurunan kedua garis tegak lurus AM1 dan BM2 dari titik ini menunju sumbu absis (gambar 6a) atau menuju sumbu ordiat (gambar 6b) kita lihat bahwa garis AB panjangnya sama dengan garis M1M2 (sebagai sisi lain dari sebuah empat persegi panjang) dan berada dalam arah yang sama, yakni

AB = M1M2 = x2 - x1 (atau y2 - y1)

Bila hanya panjang garis AB yang dipentingkan, sedangkan arahnya tidak begitu penting, maka kita harus mengambil bilangan harga mutlak yang diperoleh dari rumus (I) :

Bila AB tidak sejajar dengan salah satu sumbu koordinat, maka besarnya dapat diartikan sebagai panjang garis AB.

Contoh Soal :  Carilah jarak antara titik-titik A (x1,y1) dan B(x2,y2).

Pemecahannya : Dari titik-titik A dan B (gambar 7 di atas) kita taris garis tegak lurus AM1 dan BM2 menuju sumbu 0x dan garis tegak lurus AN1 dan BN2 menuju sumbu 0y. Akibat perpotongan AN1 dan BM2, kita peroleh sebuah segitika siku-siku ABC dengan dalil Phythagoras.

Masukkan harga-harga ini ke dalam akar, kita peroleh .

Yakni, jarak antara dua buah titik yang diketahui adalah sama dengan akar dari jumlah aljabar dari kuadrat selisih koordinat-koordinat titik-titik ini.

Dari Rumus II, jarak titik A (x,y) dari titik pusat O (0,0) adalah 

atau 

Yakni, jarak sebuah titik dari titik pusat adalah sama dengan akar dari sebuah kuadrat koordinat-koordinat titik ini.

Contoh Soal 1 : Carilah jarak antara titik-titik  A(-4,3) dan B (0,6).

Pemecahan  : Dengan Rumus (III):

Contoh Soal 2 : Carilah titik yang jaraknya sama dari titik (0,0), (7,-7), dan (8,0).

Pemecahan : Anggaplah koordinat yang dimasukkan itu adalah sama dengan x dan y. Jarak titik (x,y) dari titik yang diberikan pertama adalah 

dari yang kedua, 

dan dari titik yang ketiga adalah 

Ditentukan pula bahwa semua jarak-jarak ini adalah sama besar. Anggaplah semua akar yang pertama memenuhi untuk akar kedua dan ketiga :

setelah memangkatkan persamaan-persamaan ini, menghilangkan kurung, dan mengabungkan suku-suku yang sama, maka kita peroleh persamaan x + y = 7 dan x = 4. Masukkanlah x = 4 ke dalam persamaan pertama, maka kita dapatkan y = -3; dan titik yang dicari adalah (4,-3).

Sekian dulu materi hari ini, Semoga dapat bermanfaat bagi kita semua.... 

DASAR ILMU UKUR ANALITIK BIDANG (3)

Bagian 3 Jarak antara Dua Titik

Dalil 1 : bagaimanapun kedudukan, pada suatu sumbu, dua buah titik M1 dan M2 bertalian satu sama lain dan terhadap koordinat titik pusat, maka panjang garis M1M2 diberikan sebagai selisih antara koordinat titik akhir dan titik permulaan garis tersebut; dengan kata lain, bila titik awal dan titik akhir garis M1M2 mempunyai koordinat x1 dan x2 (atau y1 dan y2), maka

Bukti. Ada enam kemungkinan kedudukan titik M1 dan M2 terhadap masing-masing titik dan titik pusat 0 (Gambar 5)

1. Jika kita perhatikan dari arah kiri ke kanan, maka titik-titik itu berada dalam susunan seperti ditunjukan pada sumbu-sumbu I dan II, yakni : 0, M1, M2 atau M2, M1, 0, maka dalam kedua hal itu 

0M1 + M1M2 = 0M2.

Dari mana M1M2 = 0M2 - 0M1.

Tapi 0M1 = x1 dan 0M2 = x2. Karena itu, M1M2 = x2 - x1.

2. Bila kita perhatikan dari kiri ke kanan, maka titik-titik itu mempunyai susunan yang ditunjukan pada sumbu-sumbu III dan IV, yakni :

M1, 0, M2 atau M2, 0, M1

kemudian M1M2 = M1 0 + 0M2

Tapi M1 0 = - 0M1 = -x1,  0M2 = x2

Karena itu, M1M2= x2 - x1

3. Bila titik-titik itu ditempatkan dalam susunan yang ditunjukan pada sumbu-sumbu V dan VI, yakni : M1, M2, 0 atau 0, M2, M1, kita peroleh : 

M1M2 +M2 0 = M1 0

Dari mana M1M2 = M1 0 - M2 0, atau M1M2 = 0M2 - 0M1, 

Karena M1 0 = - 0M1 dna M2 0 = 0M2. Tapi 0M2 = x2 dan 0M1 = x1.

Karena itu, M1M2 = x2 - x1.

Contoh :

1. Panjang suatu garis yang titik awal dan titik akhirnya M1 (3,0) dan M2 (5,0) adalah 

M1M2 = 5 - 3 = 2

2. Bila titik-titik M1 (-3,0) dan M2 (-5,0), maka M1M2 = -5 - (-3) = -5 + 3 = -2.

3. Bila titik-titik M1 (0,-2) dan M2 (0,3), maka M1M2 = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5.

Nah... Hari ini Sudah dulu... Semoga dapat bermanfaat... 

DASAR ILMU UKUR ANALITIK BIDANG (2)

Bagian 2 : Jumlah Dua Potong Garis Lurus

      Di dalam ilmu ukur analitik, potongan-potongan garis itu (pada materi sebelumnya di Dasar Ilmu Ukur Analitik Bidang ) menunjukan karakteristiknya bukan hanya oleh panjangnya, tapi juga oleh arahnya. Bila memperhatikan dua potong garis, maka terdapat 2 kemungkinan:

     1) Kedua garis itu adalah sejajar atau berimpit;

     2) Arah dari titik pusat (permulaan) dari garis itu sampai ujungny adalah sama (atau berlawanan), sehingga kedua potong garis tersebut adalah sama (berlawanan).

      Untuk perpotongan garis itu diberikan tanda dengan 2 (dua) huruf, huruf pertama menunjukan tempat permulaan, dan yang kedua adalah titik akhir potongan garis itu. Dua garis AB dan BA karenanya sama panjang tetapi berbeda arah.

AB = - BA 

        Arah dari suatu garis kadang-kadang ditunjukan oleh sebuah anak panah yang yang dibubuhkan pada titik akhir garis itu. (Gambar 4a dan Gambar 4b).

       Untuk menentukan jumlah kedua garis lurus yang sama atau berlawanan AB dan CD (Gambar 4a dan Gambar 4b), maka perlu untuk menempatkan keduanya pada sebuah garis lurus sehingga titik awal garis yang kedua (titik C) berimpit dengan titik akhir garis yang pertama (titik B). Kemudian titik awal dari garis yang pertama (titik A) dan titik akhir dari garis ke dua (titik D) berturut-turut akan menunjukan titik awal dan titik akhir dari garis tersebut, yang merupakan jumlah AB dan CD;

AB + CD = AD  

DASAR ILMU UKUR ANALITIK BIDANG

BAGIAN 1  Tentang Sistem Koordinat.

Kali ini saya akan membawakan tentang sistem koordinat yang saya dapatkan dari berbagai referensi, semoga dapat dipahami oleh teman2 skalian...

pertama kita akan bahas tentang  Ilmu Ukur Analitik Bidang yang tentunya membicarakan tentang garis, lingkaran, ellips, hyperbola dan parabola. semua ini dipelajari dalam sistem koordinat.
Sistem Koordinat itu ditentukan dengan besaran tempat kedudukan dari pada sebuah titik terhadap sumbu-sumbu koordinat
Sumbu-sumbu koordinat yang dimaksudkan di atas adalah merupakan sebuah garis lurus (perhatikan Gambar 1) dimana terdapat :
1. titik O sebagai Pusat
2. Suatu arah positif (dari kiri ke kanan)
3. suatu satuan untuk mengukur panjang, yang juga disebut satuan skala.

 Jarak suatu sumbu M pada sumbu itu dari titik pusat O (singkat OM) dapat diukur oleh satuan l; yakni, ia dapat dinyatakan oleh suatu bilangan tertentu. Tanda positif diberikan pada bilangan ini, bila arah dari titik pusat O terhadap titik M bertepatan pada arah sumbu positif; dan tanda negatif diberikan bila ia berlawanan dengan arah sumbu positif. Karena itu, untuk tiap titik M dari sumbu koordinat adalah sesuai dengan bilangan tertentu. Dan ini disebut Koordinat titik M. Perlu diingat Koordinat titik Pusat O adalah sama dengan 0.

Juga sebaliknya; tiap bilangan nyata adalah sesuai dengan suatu titik pada sumbu koordinatyang koordinatnya dijelaskan oleh bilangan ini untuk tiap satuan ukuran yang diberikan.

Dua Buah sumbu koordinat yang tegak lurus Ox dan Oy, yang berpotongan pada titiki nol, membentuk sebuah salip sumbu atau sistem koordinat Cartesian. (sistem salip sumbu ini disebut Cartesian adalah untuk menghormati ahli ilmu pasti Prancis Rene Des Cartes yang pertama kali mengembangkan uraian tentang pemecahan ilmu ukur Analitik, di mana beliau menerangkan pokok-pokok pemecahan,  yaitu bahwa persamaan antara x dan y dapat menentukan suatu garis). 

 Arah positif dari masing-masing sumbu itu di dalam gambar, ditunjukkan oleh sebuah anak panah.

sumbu-sumbu Ox dan Oy membagi bidang menjadi empat bagian yang di sebut kuadran-kuadran, yang disusun sebagai berikut: kuadran pertama, yakni bidang diantara positif Ox dan positif Oy; kuadran kedua diantara Oy dan -Ox; kuadran ketiga, diantara -Ox dan -Oy; dan kuadran keempat diantara -Oy dan Ox.

untuk menyebutkan satu demi satu hal di atas dengan bilangan pertolongan yang menunjukkan kedudukan sebuah titik A dalam bidang yang sesuai pada sebuah sistem koordinatnya (gambar 3 ), maka kita tarik sebuah garis A dalam bidang yang tegak lurus dari titik A kepada sumbu Ox, dan sebuah garis lurus AN pada sumbu Oy. Titik-titik M dan N; yang merupakan alas garis tegak lurus itu, yang ditarik dari titik A pada sumbu Ox dan Oy secara berturut-turut, disebut proyeksi titik A pada sumbu koordinat. Anggaplah x sebagai koordinat titik M pada sumbu Ox, serta anggaplah y sebagai koordinat titik N pada sumbu Oy.

Definisi. Bilangan x, yang merupakan koordinat proyeksi titik A pada sumbu Ox, disebut absis dari pada titik A. bilangan y, yang merupakan koordinat proyeksi titik A pada sumbu Oy, disebut Ordinat titik A. (kata latin "absisca" berarti "potongan", "ordinate" berarti "susunan")

Berhubungan dengan itu, maka sumbu Ox disebut sumbu absis, dan sumbu Oy disebut sumbu ordinat. supaya singkat, maka kalimat "titik A yang mempunyai koordinat x dan y" biasanya ditulis "titik A (x,y)"; di mana huruf pertama menunjukkan absis dan yang kedua menunjukkan ordinat. Tanda-tanda absis dan ordinat sebuah titik A ditentukan oleh kuadran di aman titik itu berada. gambar 2 menunjukkan tanda-tanda absis dan ordinat untuk tiap-tiap kuadran; tanda yang pertama menunjukkan tanda absis, yang kedua merupakan tanda ordinat. 

Bila titik A berada pada sumbu Ox (Oy), maka ordinat dan absisnya adalah nol. 

Dalam hal ini kita dapat menentuka koordinat  dari suatu titik di dalam bidang. sebaliknya, bila koordinat-koordinat itu yang diberikan, maka kita dapat membaca kedudukan suatiu titik di dalam bidang. misalnya, anggaplah (-3,5) menunjukkkan koordinat dari titik R ukurlah sebanyak 3 satuan skala ke arah kiri dari titik O sepanjang sumbu Ox, dan 5 satuan Skala ke atas dari pusat titik O sepanjang sumbu Oy, maka kita peroleh sebuah titik B pada Ox dan sebuah titik Q pada Oy (gambar 3); tariklah garis PR dan QR berturut-turut sejajar dengan sumbu Oy dan sumbu Ox, maka kita memperoleh titik yang dikehendaki R (-3,5) sebagai titik perpotongan. 

Koordinat-koordinat x dan y dari titik A di dalam bidang adalah bilangan, yang berturut-turut, menunjukkan perbandingan potongan OM dan ON pada skala satuan. Dengan demikian l sebagai satuan skala, maka diperoleh:

Hubungan ini biasanya ditulis, secara singkat,

yang diartikan bahwa, dalam hal ini OM dan ON bukanlah menunjukan potongan OM dan ON langsung, tapi bilangan yang menunjukan panjangnya, bila l = 1. Notasi ini adalah cocok bukan hanya karena bentuk yang sederhana, tapi juga karena koordinat x dan y ditunjukan secara lukisan.

(Insya Allah Materi ini akan di postkan tiap minggu, sebagai bahan pelajaran bagi saya pribadi)